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波動函數 / wave function
파동을 기술할 때 쓰이는 파동방정식을 따르는 함수. 물리학에서 파동함수라 함은 주로 슈뢰딩거 방정식을 따르는 양자역학의 파동함수를 의미한다. 파동함수는 때로는 평범한 현악기 줄의 파동이나 음파와 같은 고전역학적인 파동을 나타내는 함수라는 의미로도 사용된다. 보통은 파동함수를 시간과 공간에 의존하는 함수로 표현하지만 파동함수를 운동량의 함수로 표현하는 것도 가능하다. 고전역학에서 (시간에 따른) 위치 x⃗(t)를 구하면 속도 dx⃗/dt, 운동량 mv⃗, 운동에너지 (1/2)mv2 등등을 알 수 있듯이, 양자역학에서 파동함수를 구하면 그 계의 여러 물리량들을 알 수 있다.
양자역학에 숨은 변수가 없다면, 파동함수 Ψ에는 계(system)의 모든 정보가 빠짐없이 담겨있어야만 한다. 양자역학을 배울 때에는 대부분의 시간을 파동함수를 구하는 법(=슈뢰딩거 방정식을 푸는 법)을 배우는 데 사용하게 된다.
파동을 기술할 때 쓰이는 파동방정식을 따르는 함수. 물리학에서 파동함수라 함은 주로 슈뢰딩거 방정식을 따르는 양자역학의 파동함수를 의미한다. 파동함수는 때로는 평범한 현악기 줄의 파동이나 음파와 같은 고전역학적인 파동을 나타내는 함수라는 의미로도 사용된다. 보통은 파동함수를 시간과 공간에 의존하는 함수로 표현하지만 파동함수를 운동량의 함수로 표현하는 것도 가능하다. 고전역학에서 (시간에 따른) 위치 x⃗(t)를 구하면 속도 dx⃗/dt, 운동량 mv⃗, 운동에너지 (1/2)mv2 등등을 알 수 있듯이, 양자역학에서 파동함수를 구하면 그 계의 여러 물리량들을 알 수 있다.
양자역학에 숨은 변수가 없다면, 파동함수 Ψ에는 계(system)의 모든 정보가 빠짐없이 담겨있어야만 한다. 양자역학을 배울 때에는 대부분의 시간을 파동함수를 구하는 법(=슈뢰딩거 방정식을 푸는 법)을 배우는 데 사용하게 된다.
파동함수는 파동이 존재하는 공간(1차원, 2차원, 3차원,... 등등)이 무엇이고 어떻게 움직이냐에 따라 차원이 다르다. 입자 1개가 돌아다니는 무한히 거대한 공간의 물리계를 생각해보자. 예를 들어 파동함수가 1차원상 선운동하는 입자(혹은 추상적인 상태)를 나타낸다 할 때 파동함수 크기의 제곱값의 차원은 길이의 역수차원(단위) (1L)이며, 2차원상 선운동하는 입자(혹은 추상적인 상태)의 파동함수 크기 제곱값은 길이의 역수 제곱차원(단위)(1L2)을 가진다. 마지막으로 3차원상 선운동하는 입자(혹은 추상적인 상태)의 파동함수의 크기 제곱값은 길이의 역수 세제곱 차원(단위) (1L3)을 가진다.
한 곳에서의 파동함수의 절댓값의 제곱은 그곳에서 대상을 발견할 확률밀도이다. 확률을 ∣Ψ∣2dr로 정의할 시 슈뢰딩거 방정식으로부터 확률 흐름 밀도와 연속 방정식이 자연스럽게 유도된다. 파동함수 그래프를 따라 전자가 이동한다고 착각하는 사람들이 있는데 그게 아니다. 거기에 제곱을 해야만 비로소 확률이라는 의미가 생기는 것이다. 확률 흐름 밀도 참고.
물리계의 파동함수는 해당하는 입자나 파동의 운동량과 에너지, 각운동량과 같은 정보를 가지고 있다. 파동함수 자체는 추상적인 성질을 가지지만 연산자[1]를 취하면, 연산자에 해당하는 해당 물리량의 정보를 알 수 있다. 예를 들어 ψ(x⃗)e−iEt/ℏ 라는 정상상태에 있는 파동함수에 에너지 연산자 iℏ∂∂t를 가하면 에너지 E를 얻어낼 수 있다.
한 곳에서의 파동함수의 절댓값의 제곱은 그곳에서 대상을 발견할 확률밀도이다. 확률을 ∣Ψ∣2dr로 정의할 시 슈뢰딩거 방정식으로부터 확률 흐름 밀도와 연속 방정식이 자연스럽게 유도된다. 파동함수 그래프를 따라 전자가 이동한다고 착각하는 사람들이 있는데 그게 아니다. 거기에 제곱을 해야만 비로소 확률이라는 의미가 생기는 것이다. 확률 흐름 밀도 참고.
물리계의 파동함수는 해당하는 입자나 파동의 운동량과 에너지, 각운동량과 같은 정보를 가지고 있다. 파동함수 자체는 추상적인 성질을 가지지만 연산자[1]를 취하면, 연산자에 해당하는 해당 물리량의 정보를 알 수 있다. 예를 들어 ψ(x⃗)e−iEt/ℏ 라는 정상상태에 있는 파동함수에 에너지 연산자 iℏ∂∂t를 가하면 에너지 E를 얻어낼 수 있다.
파동함수의 물리적 의미는 양자역학의 해석에 따라 다르다.
파동함수를 다루는 방법도 하이젠베르크 묘사(Heisenberg picture)를 사용하냐, 슈뢰딩거 묘사(Schrodinger picture)를 사용하냐에 따라 다르다.
하이젠베르크 묘사는 행렬역학을 도입하여 파동함수 대신 양자상태(Quantum state)를 사용한다. 하이젠베르크 묘사에서 양자상태는 시간에 대해 불변이고, 연산자가 시간에 따라 바뀐다.
슈뢰딩거 묘사는 파동함수를 시간에 따라 능동적으로 변하는 것으로 보고, 어떤 연산자를 제외하고 시간에 대해 불변이다라고 하였다. 이때, 자유롭게 날아다니는 입자의 파동함수는 최소한 Aei(kx−wt)의 꼴을 취할 것으로 보았다. (훗날 칼 에카르트(Carl Eckart)가, 이 둘은 양자역학을 다른 관점에서 보았을 뿐 같은 것이라고 증명하였다.[2])
근본적으로 두 관점(하이젠베르크와 슈뢰딩거)에서 본 파동함수의 본질은 같다. 슈뢰딩거 방정식의 연산자들이 편미분으로 표현해 보았다는 것은 하이젠베르크의 불확정성 원리에 따라 결정되어 있다.
그러나 시각의 차이가 존재하는데, 언급한 것과 같이 하이젠베르크 묘사는 코펜하겐 해석의 가장 첫 번째 가정(고립된 물리계의 모든 정보를 파동함수가 가질 것으로 여겼기에)에 의해, 고립계 속 각 물리량들의 총량들은 통계적으로 불변해야 한다라 생각했다. 반면, 슈뢰딩거 묘사(본인은 강력하게 양자역학을 부인했지만)는 파동함수의 진폭이 시간과 위치에 따라 충분히 달라질 수 있음을 시사한다. 그런데 우리가 어떤 위치나 시간에서 물리량을 측정(혹은 판별)하기 위해서는 파동함수의 정보 중 해당 위치와 시간에 대한 정보만을 남겨야 한다. 즉 파동함수 전체 정보 중에서 위치와 시간을 떼어내서 일부만을 바라보게 되므로, 마치 형태가 변한 것처럼 보일 뿐이다. 즉, 파동함수의 존재가능한 모든 위치에 대한 정보(상태)들을 모아 다시 원래 물리계에 대한 정보로 환산하게 되면, 하이젠베르크가 설정한 파동함수(양자상태)로 돌아오게 된다.
하이젠베르크 묘사는 행렬역학을 도입하여 파동함수 대신 양자상태(Quantum state)를 사용한다. 하이젠베르크 묘사에서 양자상태는 시간에 대해 불변이고, 연산자가 시간에 따라 바뀐다.
슈뢰딩거 묘사는 파동함수를 시간에 따라 능동적으로 변하는 것으로 보고, 어떤 연산자를 제외하고 시간에 대해 불변이다라고 하였다. 이때, 자유롭게 날아다니는 입자의 파동함수는 최소한 Aei(kx−wt)의 꼴을 취할 것으로 보았다. (훗날 칼 에카르트(Carl Eckart)가, 이 둘은 양자역학을 다른 관점에서 보았을 뿐 같은 것이라고 증명하였다.[2])
근본적으로 두 관점(하이젠베르크와 슈뢰딩거)에서 본 파동함수의 본질은 같다. 슈뢰딩거 방정식의 연산자들이 편미분으로 표현해 보았다는 것은 하이젠베르크의 불확정성 원리에 따라 결정되어 있다.
그러나 시각의 차이가 존재하는데, 언급한 것과 같이 하이젠베르크 묘사는 코펜하겐 해석의 가장 첫 번째 가정(고립된 물리계의 모든 정보를 파동함수가 가질 것으로 여겼기에)에 의해, 고립계 속 각 물리량들의 총량들은 통계적으로 불변해야 한다라 생각했다. 반면, 슈뢰딩거 묘사(본인은 강력하게 양자역학을 부인했지만)는 파동함수의 진폭이 시간과 위치에 따라 충분히 달라질 수 있음을 시사한다. 그런데 우리가 어떤 위치나 시간에서 물리량을 측정(혹은 판별)하기 위해서는 파동함수의 정보 중 해당 위치와 시간에 대한 정보만을 남겨야 한다. 즉 파동함수 전체 정보 중에서 위치와 시간을 떼어내서 일부만을 바라보게 되므로, 마치 형태가 변한 것처럼 보일 뿐이다. 즉, 파동함수의 존재가능한 모든 위치에 대한 정보(상태)들을 모아 다시 원래 물리계에 대한 정보로 환산하게 되면, 하이젠베르크가 설정한 파동함수(양자상태)로 돌아오게 된다.
예를 들어 어떤 물리계에 입자 a만 존재하며 이때 a의 운동량이 10m/s임을 나타내는 파동함수 Ψa(t,x⃗)와 다른 물리계에 입자 b만 존재하며 이때 b의 운동량이 6m/s임을 나타내는 파동함수 Ψb(t,x⃗)는 (정규화를 이미 수행했다면) 다음과 같은 관계가 성립한다.
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∫−∞∞d3x⃗∣Ψa(t,x⃗)∣2=1
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∫−∞∞d3x⃗∣Ψb(t,x⃗)∣2=1
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다음으로 입자들 a와 b가 하나의 물리계에 들어가 있는 경우를 고려해보자. 우리가 운동량 측정장비를 사용해 운동량을 측정한다 하였을 때 a가 측정장비에서 검측이 된 경우(측정장비가 검측한 운동량 크기가 10m/s 인 경우)와 b가 측정장비에서 검측이 된 경우(측정장비가 검측한 운동량 크기가 6m/s 인 경우)의 수가 반반이라고 하였을 때, 이 물리계의 파동함수는 다음과 같이 표현한다.
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Ψ(t,x⃗)=12[Ψa(t,x⃗)+Ψb(t,x⃗)]
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그리고 운동량의 기대값(expectation value)를 계산하면 8m/s의 값을 얻는데, 이것은 대체적으로 측정횟수를 늘렸을 때 얻은 운동량의 평균값이다. 즉, 측정을 무수히 반복하면 대체적으로 측정값은 8m/s에 가까운 값을 얻을 것이란 기대를 할 수 있다. 그러나 측정 횟수를 줄이고 줄여 한 번만 측정한다고 하였을 때, 우리는 50% 확률로 6m/s를 측정하거나 50%확률로 10m/s를 측정할 수 있다는 추측만을 할 수 있으며, 실제로 측정을 실시하면 6m/s와 10m/s 두 값 중 하나만을 얻는다.